아래와 같이 모든 상수항이 all zero인 선형 시스템을 homogeneous linear system(동차 선형 시스템)라고 한다.
모든 동차 선형 시스템은 반드시 하나 이상의 해를 가지는데(모든
● 하나의 자명해만을 가진다.
● 자명해를 포함한 무수히 많은 해를 가진다.
만약 동차 선형 시스템이 방정식보다 더 많은 미지수(unknowns)를 가질 경우엔, 비자명해를 가지게 되고, 따라서 무수히 많은 해가 존재하게 된다. 아래 예시를 보자.
위 행렬을 가우스-조던 소거법을 이용해 rref로 바꾸면 아래와 같이 된다.
즉, 위 행렬은 아래와 같은 선형 시스템과 동일하다.
leading variables에 대하여 풀면 아래와 같은 연립방정식이 나온다.
즉
마지막으로 ref에 대한 중요한 3가지 특성에 대해 알아보자.
1. 모든 행렬은 유일한(unique) rref를 가진다. 즉, 가우스-조던 소거법을 사용했든, 다른 형태의 기본 행 연산을 사용했던 상관없이 하나의 행렬은 같은 rref를 결과로 내놓는다.
2. ref는 유일하지 않다. 즉, 기본 행 연산의 순서를 어떻게 하느냐에 따라 다른 ref가 결과로 출력될 수 있다.
3. 임의의 행렬
위 3가지 특성이 의미하는 바는, 가우스-조던 소거법 또는 가우시안 소거법을 행렬에 적용하더라도, 그 행렬이 가진 고유한 특성은 달라지지 않는다는 것을 의미한다.
References
1. Elementary linear algebra 12th editon, Howard Anton, Anton Kaul
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