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수학/선형대수학

Homogeneous Linear Systems

by spaul 2024. 2. 22.

아래와 같이 모든 상수항이 all zero인 선형 시스템을 homogeneous linear system(동차 선형 시스템)라고 한다.

 

a11x1+a12x2++a1nxn=0

a21x1+a22x2++a2nxn=0

am1x1+am2x2++amnxn=0

 

모든 동차 선형 시스템은 반드시 하나 이상의 해를 가지는데(모든 xi가 0일 경우 해가 반드시 존재), 이처럼 모든 xi가 0일 때의 해를 자명해(trivial solution), 그렇지 않은 해를 비자명해(nontrivial solutions)라고 한다. 따라서 동차 선형 시스템이 해를 가지는 경우는 아래 두 가지 중 하나뿐이다.

 

● 하나의 자명해만을 가진다.

● 자명해를 포함한 무수히 많은 해를 가진다.

 

만약 동차 선형 시스템이 방정식보다 더 많은 미지수(unknowns)를 가질 경우엔, 비자명해를 가지게 되고, 따라서 무수히 많은 해가 존재하게 된다. 아래 예시를 보자.

[1320200265243000510015026084180]

위 행렬을 가우스-조던 소거법을 이용해 rref로 바꾸면 아래와 같이 된다.

[1304200001200000000100000000] 

즉, 위 행렬은 아래와 같은 선형 시스템과 동일하다.

 

x1+3x2+4x4+2x5=0

x3+2x4=0

x6=0 

 

leading variables에 대하여 풀면 아래와 같은 연립방정식이 나온다.

 

x1=3x24x42x5

x3=2x4

x6=0

 

x2,x4,x5는 임의의 값이 될 수 있는 free variabels(independent variables)이고 x1,x3,x6는 free variables의 값에 따라 값이 달라지는 leading variables(dependent variables)이다. 따라서 자명해를 포함한 무수히 많은 해를 가진다. 또한 n개의 미지수와 r개의 non-zero rows를 가진 동차 선형 시스템은 r개의 leading variables와 nr개의 free variables를 가진다.

 

마지막으로 ref에 대한 중요한 3가지 특성에 대해 알아보자.

 

1. 모든 행렬은 유일한(unique) rref를 가진다. 즉, 가우스-조던 소거법을 사용했든, 다른 형태의 기본 행 연산을 사용했던 상관없이 하나의 행렬은 같은 rref를 결과로 내놓는다.

2. ref는 유일하지 않다. 즉, 기본 행 연산의 순서를 어떻게 하느냐에 따라 다른 ref가 결과로 출력될 수 있다.

3. 임의의 행렬 A의 rref와 모든 ref는 같은 수의 all zero rows를 가지고 같은 위치에 leading 1이 위치한다. 이 leading 1의 위치를 A의 pivot position이라고 한다. 또한 leading 1을 포함하는 columns을 A의 pivot columns라고 하며, leading 1을 포함하는 A의 rows를 A의 pivot rows라고 한다. A의 pivot postion에 위치하는 0이 아닌 entry를 A의 pivot이라고 한다.

 

위 3가지 특성이 의미하는 바는, 가우스-조던 소거법 또는 가우시안 소거법을 행렬에 적용하더라도, 그 행렬이 가진 고유한 특성은 달라지지 않는다는 것을 의미한다.

 

References

1. Elementary linear algebra 12th editon, Howard Anton, Anton Kaul

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