Homogeneous Linear Systems

아래와 같이 모든 상수항이 all zero인 선형 시스템을 homogeneous linear system(동차 선형 시스템)라고 한다.

 

$a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + a_{1n}x_{n} = 0$

$a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} = 0$

$\vdots$

$a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \cdots + a_{mn}x_{n} = 0$

 

모든 동차 선형 시스템은 반드시 하나 이상의 해를 가지는데(모든 $x_i$가 0일 경우 해가 반드시 존재), 이처럼 모든 $x_i$가 0일 때의 해를 자명해(trivial solution), 그렇지 않은 해를 비자명해(nontrivial solutions)라고 한다. 따라서 동차 선형 시스템이 해를 가지는 경우는 아래 두 가지 중 하나뿐이다.

 

● 하나의 자명해만을 가진다.

● 자명해를 포함한 무수히 많은 해를 가진다.

 

만약 동차 선형 시스템이 방정식보다 더 많은 미지수(unknowns)를 가질 경우엔, 비자명해를 가지게 되고, 따라서 무수히 많은 해가 존재하게 된다. 아래 예시를 보자.

\begin{bmatrix}
1 & 3 & -2 & 0 & 2 & 0 & 0 \\
2 & 6 & -5 & -2 & 4 & -3 & 0 \\
0 & 0 & 5 & 10 & 0 & 15 & 0 \\
2 & 6 & 0 & 8 & 4 & 18 & 0 \\
\end{bmatrix}

위 행렬을 가우스-조던 소거법을 이용해 rref로 바꾸면 아래와 같이 된다.

\begin{bmatrix}
1 & 3 & 0 & 4 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix} 

즉, 위 행렬은 아래와 같은 선형 시스템과 동일하다.

 

$x_1 + 3x_2 + 4x_4 + 2x_5 = 0$

$x_3 + 2x_4 = 0$

$x_6 = 0$ 

 

leading variables에 대하여 풀면 아래와 같은 연립방정식이 나온다.

 

$x_1 = -3x_2 - 4x_4 - 2x_5$

$x_3 = -2x_4$

$x_6 = 0$

 

즉 $x_2, x_4, x_5$는 임의의 값이 될 수 있는 free variabels(independent variables)이고 $x_1, x_3, x_6$는 free variables의 값에 따라 값이 달라지는 leading variables(dependent variables)이다. 따라서 자명해를 포함한 무수히 많은 해를 가진다. 또한 $n$개의 미지수와 $r$개의 non-zero rows를 가진 동차 선형 시스템은 $r$개의 leading variables와 $n-r$개의 free variables를 가진다.

 

마지막으로 ref에 대한 중요한 3가지 특성에 대해 알아보자.

 

1. 모든 행렬은 유일한(unique) rref를 가진다. 즉, 가우스-조던 소거법을 사용했든, 다른 형태의 기본 행 연산을 사용했던 상관없이 하나의 행렬은 같은 rref를 결과로 내놓는다.

2. ref는 유일하지 않다. 즉, 기본 행 연산의 순서를 어떻게 하느냐에 따라 다른 ref가 결과로 출력될 수 있다.

3. 임의의 행렬 $A$의 rref와 모든 ref는 같은 수의 all zero rows를 가지고 같은 위치에 leading 1이 위치한다. 이 leading 1의 위치를 $A$의 pivot position이라고 한다. 또한 leading 1을 포함하는 columns을 $A$의 pivot columns라고 하며, leading 1을 포함하는 $A$의 rows를 $A$의 pivot rows라고 한다. $A$의 pivot postion에 위치하는 0이 아닌 entry를 $A$의 pivot이라고 한다.

 

위 3가지 특성이 의미하는 바는, 가우스-조던 소거법 또는 가우시안 소거법을 행렬에 적용하더라도, 그 행렬이 가진 고유한 특성은 달라지지 않는다는 것을 의미한다.

 

References

1. Elementary linear algebra 12th editon, Howard Anton, Anton Kaul