Matrices and Matrix Operations(2)

임의의 행렬에 수직선 또는 수평선을 추가하여 여러 개의 블록(Block)으로 나타낼 수 있다. 아래를 보자.

$A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\
\end{bmatrix}$

 

위의 행렬 $A$를 아래와 같이 4개의 블록으로 나누자.

 

$A_{11} = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
\end{bmatrix}, A_{12} = \begin{bmatrix}
a_{14} \\
a_{24} \\
\end{bmatrix}, A_{21} = \begin{bmatrix}
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{bmatrix}, A_{22} = \begin{bmatrix}
a_{34}
\end{bmatrix}$

 

그러고 나면 $A$는 아래와 같은 블록의 행렬로 표현 가능하다.

 

$A = \begin{bmatrix}
A_{11} & A_{12} \\
A_{21} & A_{22} \\
\end{bmatrix}$

 

이처럼 행렬을 여러 개의 블록의 행렬로 표현한 것을 블록 행렬(Block Matrix)이라 한다. 블록 행렬은 복잡한 행렬 계산을 쉽게 해주는 장점이 있다. 마찬가지로 위의 $A$를 아래와 같이 행 벡터들의 행렬, 열 벡터들의 행렬로도 표현할 수 있다. 

 

$A = \begin{bmatrix}
\mathbf{r_1} \\
\mathbf{r_2} \\
\mathbf{r_3} \\
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
\mathbf{c_1} & \mathbf{c_2} & \mathbf{c_3} & \mathbf{c_4} \\
\end{bmatrix}$

 

따라서 행렬 곱 $AB$를 아래과 같이 column by column 또는 row by row로 계산할 수 있게 된다.

 

$AB = A\begin{bmatrix}
\mathbf{b_1} & \mathbf{b_2}  & \cdots & \mathbf{b_n} \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
A\mathbf{b_1} & A\mathbf{b_2}  & \cdots & A\mathbf{b_n} \\
\end{bmatrix}$

($AB$ computed column by column)

 

$AB = \begin{bmatrix}
\mathbf{a_1} \\
\mathbf{a_2} \\
\vdots \\
\mathbf{a_m}
\end{bmatrix}B = 
\begin{bmatrix}
\mathbf{a_1}B \\
\mathbf{a_2}B \\
\vdots \\
\mathbf{a_m}B
\end{bmatrix}$

($AB$ computed row by row)

 

위와 같은 방식을 통해 전체 행렬 곱의 계산 없이도 특정 행 또는 열을 계산하여 구할 수 있다. 즉,

 

$AB$의 $j$번째 column vector = $A$[$B$의 $j$번째 column vector]

$AB$의 $i$번째 row vector = [$A$의 $i$번째 row vector]$B$

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▶  $A_1, A_2, \cdots ,A_r$가 같은 크기의 행렬이고 $c_1, c_2, \cdots, c_r$이 scalar일 때 아래와 같은 형태를 선형 결합(linear combination)이라고 한다.

 

$c_1A_1 + c_2A_2 + \cdots + c_rA_r$

 

행렬 곱을 선형 결합의 관점으로도 볼 수 있는데, 아래와 같이 $A$와 $\mathbf{x}$가 있다고 생각해보자.

 

$A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
 &  & \vdots &  \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{bmatrix} and \; \mathbf{x} = \begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_3
\end{bmatrix}$

 

그럼 $A\mathbf{x}$는 아래와 같이 나타낼 수 있다.

 

즉, $A$가 $m \times n$ 행렬이고 $\mathbf{x}$가 $n \times 1$ 열 벡터 일때, $A\mathbf{x}$는 $A$의 열 벡터와 $\mathbf{x}$의 계수의 선형 결합으로 표현할 수 있다.

 

▶  $A$가 $m \times r$ 행렬이고 $B$가 $r \times n$ 행렬 일 때, $A$를 $r$개의 열 벡터를 가진 블록 행렬, $B$를 $r$개의 행 벡터를 가진 블록 행렬로 본다면, $AB$를 아래와 같이 표현 가능하고 이를 $AB$의 column-row expansion이라 한다.

 

$AB = \mathbf{c_1}\mathbf{r_1}+ \mathbf{c_2}\mathbf{r_2}+\cdots\ \mathbf{c_r}\mathbf{r_r}$

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▶ $A$가 $m \times n$ 행렬 일 때 $A$의 전치(Transpose)행렬을 $A^T$로 표기한다. 전치행렬 $A^T$는 $A$의 행과 열이 서로 바뀌는 것을 의미한다. 즉, $A^T$의 n번째 열은 $A$의 n번째 행이다. 아래의 예시를 보면 쉽게 이해할 수 있다.

 

$A = \begin{bmatrix}
1 & 4 & 2 \\
3 & 5 & 4 \\
\end{bmatrix}, \; A^T = \begin{bmatrix}
1 & 3 \\
4 & 5 \\
2 & 4 \\
\end{bmatrix}$

 

▶ 정방행렬(Square Matrix)의 주 대각성분의 합을 Trace of A이라고 하고 $tr(A)$로 표기한다. 만약 $A$가 Square가 아니면 $tr(A)$는 정의되지 않는다.

 

References

1. Elementary linear algebra 12th editon, Howard Anton, Anton Kaul