전체 글31 Using Elemental Matrix to Obtain Inverse Matrix 이전에 역행렬의 특성과 기본 행렬에 대해 다루었다. 하지만 역행렬을 어떻게 구하는지는 다루지 않았다. 행렬식(determinant)을 이용하여 구하는 것이 일반적이지만, 그것은 나중에 다루어보도록 하고 이번에는 앞에서 다루었던 기본행렬을 이용하여 역행렬을 구하는 방법에 대해 알아보자. 그 전에, 아래 $(a) ~ (d)$를 살펴보자. ▶ A가 $n \times n$ 행렬이라면, 다음의 문장들은 동일하다. 즉, 모두 참이거나 모두 거짓이다. $(a) \; A$는 가역이다. $(b) \; A\mathbf{x} = 0$는 오직 자명해만 갖는다. $(c) \; A$의 rref는 $I_{n}$이다. $(d) \; A$는 기본 행렬의 곱으로 표현 가능하다. $(a)$를 통해 $(b)$를 증명할 수 있고, $(b)$.. 2024. 3. 25. Elementary Matrices 이전에 3가지 기본 행 연산에 대해 정의한 적이 있는데, 우리가 행렬 $A$에 기본 행 연산을 통하여 행렬 $B$를 만들었다면, 아래의 3가지 연산을 통하여 다시 $B$로부터 $A$를 만들 수 있을 것이라는 자명한 사실이다. 1. 0이 아닌 임의의 상수 $\frac{1}{c}$를 행에 곱한다. 2. 두 개의 행을 교환한다. 3. $B$가 $A$의 $r_{i}$행에 $c$를 곱한 값을 $r_j$행에 더한 결과라면, 다시 $r_{i}$에 $-c$를 곱하여 $r_j$에 더한다. 즉, $B$가 $A$에 elementary row operations을 적용하여 얻어진 것이라면 이 두 행렬을 row equivalent하다고 말한다. 또한 단위 행렬에 한 번의 기본 행 연산을 통하여 얻어지는 행렬 $E$를 eleme.. 2024. 3. 16. Properties of the Transpose 이전에 임의의 행렬의 행과 열을 바꾼 행렬인 전치행렬(Transpose Matrix)에 대해 다룬적이 있다. 전치행렬도 중요한 특성들을 가지므로 정리하고 넘어가자. 행렬 $A, B$가 연산이 정의되는 크기일 때, 아래 $(a) - (e)$가 성립한다. $(a) \; (A^T)^T = A$ $(b) \; (A+B)^T = A^T + B^T$ $(c) \; (A-B)^T = A^T - B^T$ $(d) \; (kA)^T = kA^T$ $(e) \; (AB)^T = B^TA^T$ $(a)$와 $(e)$는 행렬의 inverse의 특성에서 봤던 것과 유사한 결과가 나오는 것을 볼 수 있다. 정리하는 것이 목적이므로 역시 자세한 증명은 생략하겠다. 또한 역행렬에서 봤던 것과 마찬가지로, $(e)$는 $n$개의 pr.. 2024. 3. 8. Inverse of Matrix(2) 앞서 $A$의 inverse를 $A^{-1}$과 같이 사용하기로 했다. Matrix inverse의 몇 가지 중요한 특성에 대해서 알아보자. ● A와 B가 가역 행렬이고 크기가 같다면, $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$이다. 증명은 간단한데, $AB$의 inverse는 $(AB)^{-1}$이므로, $(AB)(B^{-1}A^{-1}) = (B^{-1}A^{-1})(AB) = I$임을 보이면 된다. $(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AIA^{-1} = AA^{-1} = I$ 마찬가지로 $(B^{-1}A^{-1})(AB) = I$ 이므로 $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$이다. 일반화하자면, $n$개의 가역 행렬의 곱은 가역이고, 행렬곱의 역은.. 2024. 3. 8. Inverse of Matrix(1) 우리가 어떤 실수 값 $a$에 대해서 $a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = 1$이 나오게 하는 $a^{-1}$을 $a$의 inverse라고 하듯, 행렬에 대해서도 이런 inverse를 정의한다. ▶ $A$가 Square Matrix이고 $B$가 $A$와 같은 크기의 Square Matrix일 때, $AB = BA = I$라면 이 때 $A$를 가역(Invertible)이라고 하고 $B$를 $A$의 Inverse(역행렬)라고 한다. 이러한 $B$가 존재하지 않는다면, 그 때 A를 singular라고 한다. 주목해야 할 점은 일단 Inverse와 Invertible같은 개념은 Square Matrix일 때만 정의된다는 것이다. 만약 Square가 아니면 inverse는 정의되지 않는다.. 2024. 3. 2. Properties of Matrix Operations 우리가 일반적으로 사용해왔던 실수 체계에서의 연산 법칙들을 행렬에 대해서도 적용할 수 있다. 너무 당연해 보여서 이걸 왜 굳이 언급하나 싶기도 하지만, 사실 그렇게 당연하지만은 않다. 실수 체계에서는 당연해 보였던 연산 법칙들이 어떤 공리계를 선택하느냐에 따라 성립하지 않을 수 있기 때문이다. 행렬의 연산은 아래 $(a)$ ~ $ (m)$까지의 연산 법칙들이 적용된다. $(a) \; A + B = B + A$ (행렬 덧셈의 교환 법칙) $(b) \; A+(B+C) = (A+B)+C$ (행렬 덧셈의 결합 법칙) $(c) \; A(BC) = (AB)C$ (행렬 곱셈의 결합법칙) $(d) \; A(B+C) = AB+AC$ (좌 분배법칙) $(e) \; (B+C)A = BA+CA$ (우 분배법칙) $(f) \;.. 2024. 2. 29. 이전 1 2 3 4 ··· 6 다음
