Properties of the Transpose

이전에 임의의 행렬의 행과 열을 바꾼 행렬인 전치행렬(Transpose Matrix)에 대해 다룬적이 있다. 전치행렬도 중요한 특성들을 가지므로 정리하고 넘어가자.

 

행렬 $A,B$가 연산이 정의되는 크기일 때, 아래 $(a)-(e)$가 성립한다.

$(a)(A^T{)}^T=A$

$(b)(A+B{)}^T=A^T+B^T$

$(c)(A-B{)}^T=A^T-B^T$

$(d)(kA{)}^T=k{A}^T$

$(e)(AB{)}^T=B^T{A}^T$

 

$(a)$와 $(e)$는 행렬의 inverse의 특성에서 봤던 것과 유사한 결과가 나오는 것을 볼 수 있다. 정리하는 것이 목적이므로 역시 자세한 증명은 생략하겠다. 또한 역행렬에서 봤던 것과 마찬가지로, $(e)$는 $n$개의 product of transpose에 대해서도 성립한다.

 

$A$가 가역 행렬일 때, $A^T$도 가역이며 아래가 성립한다.

 

$(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$

 

이를 증명하기 위해서, $A^T$의 inverse는 $(A^T{)}^{-1}$이고, $I^T=I$이므로, $A^T(A^T{)}^{-1}=A^T(A^{-1}{)}^T=I$, 그리고  $(A^T{)}^{-1}{A}^T=(A^{-1}{)}^T{A}^T=I$를 보이면 된다.

 

$A^T(A^{-1}{)}^T=(A^{-1}A{)}^T=I^T=I$

$(A^{-1}{)}^T{A}^T=(A{A}^{-1}{)}^T=I^T=I$

 

위와 같이 증명된다. ■

 

References

1. Elementary linear algebra 12th editon, Howard Anton, Anton Kaul