Inverse of Matrix(1)

우리가 어떤 실수 값 $a$에 대해서 $a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = 1$이 나오게 하는 $a^{-1}$을 $a$의 inverse라고 하듯, 행렬에 대해서도 이런 inverse를 정의한다. 

 

▶ $A$가 Square Matrix이고 $B$가 $A$와 같은 크기의 Square Matrix일 때, $AB = BA = I$라면 이 때 $A$를 가역(Invertible)이라고 하고 $B$를 $A$의 Inverse(역행렬)라고 한다. 이러한 $B$가 존재하지 않는다면, 그 때 A를 singular라고 한다.

 

주목해야 할 점은 일단 Inverse와 Invertible같은 개념은 Square Matrix일 때만 정의된다는 것이다. 만약 Square가 아니면 inverse는 정의되지 않는다. 또한 위에서 $B$가 $A$의 Inverse라면 $A$는 $B$의 inverse이므로 $B$ 또한 가역 행렬이라는 것이 언제나 성립한다. 

 

추가로, $B$가 $A$의 inverse라면 $B$가 $A$의 앞에서 곱해지든지, 뒤에서 곱해지든지 항상 $I$가 결과로 나와야 한다. 이는 위에 inverse의 정의에서도 나온다.

 

row or cloumn of zeros를 가진 행렬은 반드시 singular인데, 단위 행렬을 만들 수 있는 inverse가 존재할 수 없기 때문이다. 아래 예시를 보자.

 

아래와 같은 행렬 $A$가 있다.

 

$A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 0 \\
3 & 4 & 0 \\
5 & 6 & 0 \\
\end{bmatrix}$

 

$A$가 singular임을 보이기 위해, $AB = BA = I$인 $B$가 존재하지 않는다는 것을 보여야 한다. $A$를 두 개의 열벡터$\mathbf{c_1}, \mathbf{c_2}$와 $\mathbf{0}$를 갖는 행 벡터로 보면, 아래와 같이 식을 정리할 수 있다는 것을 배웠다.

 

$BA = B\begin{bmatrix}
\mathbf{c_1} & \mathbf{c_2} & 0 \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
B\mathbf{c_1} & B\mathbf{c_2} & 0 \\
\end{bmatrix}$

 

따라서 어떤 기본 행 연산을 사용해도 $I$를 만들 수 없으므로, $A$는 singular이다.

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어떤 행렬이 가역일 때, 그 행렬의 inverse는 유일하다. 간단하게 증명할 수 있는데, $B$와 $C$가 둘 다 $A$의 inverse라고 하자. $BA = I$이고 양 쪽에 행렬 $C$를 곱하여 $(BA)C = IC = C$로 나타낼 수 있다. 그런데 행렬 곱의 결합법칙이 성립하므로 $B(AC) = BI = B$이다. 따라서 $B = C$이다.

 

위 증명의 결과로 어떤 행렬의 inverse는 유일하다는 것이 밝혀졌으니, 행렬의 inverse기호로 $A^{-1}$을 사용할 수 있게 되었다. 따라서 이제는 $AA^{-1} = A^{-1}A = I$와 같이 사용할 것이다.

 

References

1. Elementary linear algebra 12th editon, Howard Anton, Anton Kaul