Properties of Matrix Operations

우리가 일반적으로 사용해왔던 실수 체계에서의 연산 법칙들을 행렬에 대해서도 적용할 수 있다. 너무 당연해 보여서 이걸 왜 굳이 언급하나 싶기도 하지만, 사실 그렇게 당연하지만은 않다. 실수 체계에서는 당연해 보였던 연산 법칙들이 어떤 공리계를 선택하느냐에 따라 성립하지 않을 수 있기 때문이다. 행렬의 연산은 아래 $(a)$ ~ $ (m)$까지의 연산 법칙들이 적용된다.

 

$(a) \; A + B = B + A$ (행렬 덧셈의 교환 법칙)

$(b) \; A+(B+C) = (A+B)+C$ (행렬 덧셈의 결합 법칙)

$(c) \; A(BC) = (AB)C$ (행렬 곱셈의 결합법칙)

$(d) \; A(B+C) = AB+AC$ (좌 분배법칙)

$(e) \; (B+C)A = BA+CA$ (우 분배법칙)

$(f) \; A(B-C) = AB-AC$

$(g) \; (B-C)A = BA-CA$

$(h) \; a(B+C) = aB + aC$

$(i) \; a(B-C) = aB - aC$

$(j) \; (a+b)C  = aC + aB$

$(k) \; (a-b)C = aC - bC$

$(l) \; a(bC) = (ab)C$

$(m) \; a(BC) = (aB)C = B(aC)$

 

여기서 $a, b$는 임의의 scalar 값이고, $A,B,C$는 임의의 행렬이다. 물론, 위의 연산법칙들은 각각의 법칙들을 수행하기 위한 행렬의 크기가 적절하다고 가정한다. 자세한 증명은 생략한다.

 

우리가 실수 체계에서 사용해왔던 대부분의 연산법칙들이 행렬의 연산에서도 적용되지만, 예외가 존재하는데 행렬 곱의 교환법칙이다. 실수 체계에서 $ab = ba$는 항상 성립하지만, 행렬 연산에서 $AB = BA$는 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, 두 행렬 $A_{2 \times 3}, B_{3 \times 2}$가 있을 때, $AB$의 크기는 $2 \times 2$ 이지만, $BA$의 크기는 $3 \times 3$가 된다. 두 행렬이 Square일 때도 마찬가지인데, $AB$나 $BA$나 모두 크기는 $n \times n$으로 같겠지만 원소들의 값이 달라지기 때문에 행렬 곱의 교환법칙이 일반적으로 성립하지 않는다.

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▶ 행렬의 모든 원소의 값이 0인 행렬을 영행렬(Zero Matrix)라고 하고 숫자 0과 구분하기 위해 $\mathit{0}$로 표기한다. 영행렬의 특성은 아래와 같다.

 

$(a) \quad A+\mathit{0} = \mathit{0}+A = A$

$(b) \quad A-\mathit{0} = A$

$(c) \quad A-A = A+(-A) = \mathit{0}$

$(d) \quad 0A= \mathit{0}$

$(e)\quad$If $cA = \mathit{0},$ then $c = 0$ or $A = \mathit{0}$

 

거듭 언급하지만 당연해보일지라도 한 번씩 정리해놓고 가는 것이 좋다. 예를 들어 $AB = AC$일 때, $A \neq \mathit{0}$이면 $B = C$일까? 실수 연산에서는 성립하지만 행렬 연산에서는 성립하지 않는다.

 

마찬가지로 $AB = \mathit{0}$일 때, $A \neq B \neq \mathit{0}$일 수 있다. 위의 정리된 연산 법칙들을 제외하고 실수 체계에서 적용되던 연산 법칙들을 행렬 연산에도 사용하는 것에는 주의가 필요하다.

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▶ 주대각 성분의 값이 모두 1이고 다른 모든 원소들이 0인 정방 행렬을 단위 행렬($I$, Identity Matrix)라고 한다. $n \times n$크기의 단위 행렬을 $I_{n}$으로 표기한다.

 

단위 행렬은 중요한 역할을 하는데, 임의의 행렬 $A$에 단위 행렬 $I$를 곱하더라도 그대로 $A$가 나오기 때문이다. 즉, $A$가 $m \times n$일 때, 

 

$AI_n = A$ and $I_mA = A$

 

이 된다. 따라서 $I$는 실수 체계에서의 1과 같은 역할을 한다.

 

 

References

1. Elementary linear algebra 12th editon, Howard Anton, Anton Kaul