Elementary Matrices

이전에 3가지 기본 행 연산에 대해 정의한 적이 있는데, 우리가 행렬 $A$에 기본 행 연산을 통하여 행렬 $B$를 만들었다면, 아래의 3가지 연산을 통하여 다시 $B$로부터 $A$를 만들 수 있을 것이라는 자명한 사실이다.

 

1. 0이 아닌 임의의 상수 $\frac{1}{c}$를 행에 곱한다.

2. 두 개의 행을 교환한다.

3. $B$가 $A$의 $r_{i}$행에 $c$를 곱한 값을 $r_j$행에 더한 결과라면, 다시 $r_{i}$에 $-c$를 곱하여 $r_j$에 더한다.

 

즉, $B$가 $A$에 elementary row operations을 적용하여 얻어진 것이라면 이 두 행렬을 row equivalent하다고 말한다. 또한 단위 행렬에 한 번의 기본 행 연산을 통하여 얻어지는 행렬 $E$를 elementary matrix(기본 행렬)이라고 정의한다.

 

추가로, $E$가 $I_m$에 특정 기본 행 연산을 통해 얻어졌고, A가 $m \times n$ 행렬일 때, $EA$는 A에 동일한 기본 행 연산을 통해 얻은 행렬이다. 

 

잘 이해가 안가니 예시를 들어 살펴보자. 아래와 같은 행렬 A가 있다.

 

$A = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 2 & 3 \\
2 & -1 & 3 & 6 \\
1 & 4 & 4 & 0  \\
\end{bmatrix} \quad E = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
3 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}$

 

이제 $EA$를 곱한 값을 보면 아래와 같다.

 

$EA = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 2 & 3 \\
2 & -1 & 3 &  6 \\
4 & 4 & 10 & 9 \\
\end{bmatrix}$

 

이는 $A$의 첫 번째 행에 3을 곱한 값을 세 번째 행에 더한 값임을 알 수 있다. 따라서 기본 행렬과 행렬의 곱은 번거로운 full행렬 곱을 수행하는 것보다 좀 더 쉽게 값을 계산해낼 수 있다. 

 

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▶ 모든 기본 행렬은 가역이며, 그 역행렬 또한 기본 행렬이다.

 

어떤 기본 행렬 $E$를 같은 크기의 기본 행렬 $I$에 기본 행 연산을 통하여 얻은 것이라고 하자. 그리고 $E_{0}$를 단위 행렬 $I$에 $E$에 행했던 연산의 역연산이라고 하자. 위에서 $EA$에 대해 정의했던 것을 적용해본다면, $E_{0}E = I$이고 $EE_{0} = I$이다. 따라서 $E_{0}$는 $E$의 inverse이자 기본 행렬이다.

 

이 역시 예시를 들어서 이해해보자. 아래와 같은 행렬

 

$E = \begin{bmatrix}
1 & 0 &0  \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 3 & 1 \\
\end{bmatrix} \quad E_{0} = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & -3 & 1 \\
\end{bmatrix}$

 

이 존재한다고 하자. $E$는 $I$의 두 번째 행에 3을 곱한 값을 세 번째 행에 더한 결과이다. $E_{0}$는 $I$의 두 번째 행에 -3을 곱한 값을 세 번째 행에 더한 결과이다. 따라서 $E$에 적용된 기본 행 연산과 $E_{0}$에 적용된 기본 행 연산은 서로 역연산임을 알 수 있다. 결과적으로 $EE_{0}$와 $E_{0}E = I$임을 알 수 있다.

 

References

1. Elementary linear algebra 12th editon, Howard Anton, Anton Kaul