수학/선형대수학12 Matrices and Matrix Operations(2) 임의의 행렬에 수직선 또는 수평선을 추가하여 여러 개의 블록(Block)으로 나타낼 수 있다. 아래를 보자. $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ \end{bmatrix}$ 위의 행렬 $A$를 아래와 같이 4개의 블록으로 나누자. $A_{11} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ \end{bmatrix}, A_{12} = \begin{bmatrix} a_{14} \\ a_{24} \\ \end{bmatrix}, A.. 2024. 2. 27. Matrices and Matrix Operations(1) ▶ 행렬(Matrix)이란 숫자들의 직사각형 배열(rectangular array)이다. 배열 내의 숫자들은 행렬의 원소(요소, entries, elements)라고 한다. ▶ 아래와 같이 행렬이 하나의 행으로만 이루어져있을 경우, 이를 행 벡터(row vector)라고 한다. \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ \end{bmatrix} ▶ 아래와 같이 행렬이 하나의 열로만 이루어져있을 경우, 이를 열 벡터(column vector)라고 한다. \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \\ \end{bmatrix} 행렬의 크기를 $m \times n$과 같이 표현하는데, $m$은 행의 개수, $n$은 열의 개수를 의미한다. 따라서 일반적은 $m \times n$의 행렬은 아래와 .. 2024. 2. 25. Homogeneous Linear Systems 아래와 같이 모든 상수항이 all zero인 선형 시스템을 homogeneous linear system(동차 선형 시스템)라고 한다. $a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + a_{1n}x_{n} = 0$ $a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} = 0$ $\vdots$ $a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \cdots + a_{mn}x_{n} = 0$ 모든 동차 선형 시스템은 반드시 하나 이상의 해를 가지는데(모든 $x_i$가 0일 경우 해가 반드시 존재), 이처럼 모든 $x_i$가 0일 때의 해를 자명해(trivial solution), 그렇지 않은 해를 비자명해(nontrivial solutions)라고 한다.. 2024. 2. 22. Gauss-Jordan Elimination 선형 시스템을 푸는 3가지 대수적 연산(algebraic operations)은 아래와 같다. 1) 0이 아닌 상수를 행(row)에 곱한다. 2) 두 개의 행의 위치를 교환한다. 3) 하나의 행에 상수배를 곱한 것을 다른 행에 더한다. 위의 3가지 연산을 elementary row operations(기본 행 연산)이라고 부른다. 아래 예시를 살펴보며 제대로 이해해보자. 우선 아래와 같은 선형 시스템이 있다. $x + y + 2z = 9$ $2x + 4y - 3z = 1$ $3x + 6y - 5z = 0$ 이를 증강행렬로 표현하면 아래와 같다. \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 9 \\ 2 & 4 & -3 & 1 \\ 3 & 6 & -5 & 0 \\ \end{bmatrix} 이제 여기에 .. 2024. 2. 22. Linear System Linear system(선형 시스템)이란 linear eqautions의 유한 집합이다. m개의 선형 방정식과 n개의 unknowns(미지수)를 가진 일반적인 선형 시스템을 아래와 같이 표기한다. $a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + a_{1n}x_{n} = b_{1}$ $a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} = b_{2}$ $\vdots$ $a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \cdots + a_{mn}x_{n} = b_{m}$ 중학교에서 배우는 내용이지만, n개의 미지수를 가진 선형 시스템의 유일해(unique solution) 존재하기 위해서는 반드시 n개의 선형 방정식이 필요하다. 하지만 미지수와 선형.. 2024. 2. 16. Matrix and Linear Equations Matrix(행렬)란 직사각형의 배열을 의미한다. 복수형으로 Matrices라고 쓴다. 예를 들어 아래를 보자. $5x + y = 3$ $2x - y = 4$ 위 두 개의 선형 방정식(linear equations)을 행렬로 표현하면 아래와 같다. \begin{bmatrix} 5 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 4 \\ \end{bmatrix} 컴퓨터는 배열을 다루는 데에 특화되어 있기 때문에, 행렬로 선형 방정식을 표현한다는 것은 매우 중요하다. 그렇지만 행렬이 단순히 선형 방정식을 풀기 위한 notation tool인 것은 아니고, 그 자체가 하나의 수학적인 object로 간주될 수 있다. Matrices, 그리고 그것과 연관된 주제를 연구하는 학문이 바로 선형대수학(linear algebra)라.. 2024. 2. 16. 이전 1 2 다음
