Matrices and Matrix Operations(1)

▶ 행렬(Matrix)이란 숫자들의 직사각형 배열(rectangular array)이다. 배열 내의 숫자들은 행렬의 원소(요소, entries, elements)라고 한다.

 

▶ 아래와 같이 행렬이 하나의 행으로만 이루어져있을 경우, 이를 행 벡터(row vector)라고 한다.

\begin{bmatrix}
1 & 3 & 2 \\
\end{bmatrix}

▶ 아래와 같이 행렬이 하나의 열로만 이루어져있을 경우, 이를 열 벡터(column vector)라고 한다.

\begin{bmatrix}
1 \\
3 \\
2 \\
\end{bmatrix}

행렬의 크기를 $m \times n$과 같이 표현하는데, $m$은 행의 개수, $n$은 열의 개수를 의미한다. 따라서 일반적은 $m \times n$의 행렬은 아래와 같이 표기한다.

\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
 &  & \vdots &  \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{bmatrix}

특히 행과 열의 개수가 같은 행렬을 정방행렬(square matrix)이라고 부른다. 정방행렬은 앞으로 정말 많이 사용되니 꼭 알아두자. 또한 정방행렬 $A$의 대각성분을 $A$의 주대각(main diagonal)이라고 한다.

 

또한 두 행렬 $A, B$의 크기가 같고 모든 원소들의 값과 위치가 동일할 때, 두 행렬이 같다(equal)라고 정의한다. 너무 당연해 보이지만 중요하니 무시하고 지나치지말고 기억해두자.

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▶ 두 행렬 $A, B$의 덧셈($+$, sum)은 $A, B$의 크기가 같을 때 정의된다. $A + B$의 결과는 같은 위치의 원소들의 덧셈으로 얻는다. 

 

▶ 두 행렬 $A, B$의 뺄셈($-$, difference)은 $A, B$의 크기가 같을 때 정의된다. $A - B$의 결과는 같은 위치의 원소들의 뺄셈으로 얻는다. 

 

▶ 행렬 $A$에 임의의 scalar $c$를 곱한 $cA$는 $A$의 각 요소에 c를 곱하여 얻는다.

 

▶ 행렬 곱(Matrix multiplication)은 다음과 같이 정의된다 : $A$가 $m \times r$ 행렬이고 $B$가 $r \times n$행렬 일 때, 행렬 곱 $AB$의 $(AB_{ij})$번째 원소는 $A$의 $i$번째 행과 $B$의 $j$번째 열의 상호 대응되는 위치의 원소들의 곱으로 얻는다. 예를 들어 아래와 같은 행렬 $A_{2 \times 3}, B_{3 \times 4}$가 있을 때,

 

$A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 4 \\
2 & 6 & 0 \\
\end{bmatrix}, 
B = \begin{bmatrix}
4 & 1 & 4 & 3 \\
0 & -1 & 3 & 1 \\
2 & 7 & 5 & 2 \\
\end{bmatrix}$

 

Matrix multiplication $AB$의 결과는 아래와 같다.

 

$ AB = \begin{bmatrix}
12 & 27 & 30 & 13 \\
8 & -4 & 26 & 12 \\
\end{bmatrix} $

 

두 행렬의 곱 $AB$의 크기는 언제나 $A$의 행의 개수 $\times$ $B$의 열의 개수가 된다. 위의 예제에선 $AB_{2 \times 4}$가 된다. 만약 $A$의 행의 개수 $\neq$ $B$의 열의 개수라면 행렬 곱 $AB$는 정의되지 않는다. 예시로, $A_{3 \times 3}$이고 $B_{4 \times 3}$일 때, $AB$는 정의되지 않는다.

 

$A$가 $m \times r$ 행렬이고 $B$가 $r \times n$ 행렬 일 때, $AB$의 $ij$번째 원소 $(AB)_{ij}$의 일반화된 표현방식은 아래와 같다.

 

$(AB)_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{ir}b_{rj}$

 

References

1. Elementary linear algebra 12th editon, Howard Anton, Anton Kaul