Matrices and Matrix Operations(2)

임의의 행렬에 수직선 또는 수평선을 추가하여 여러 개의 블록(Block)으로 나타낼 수 있다. 아래를 보자.

$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}\end{array}\right]$

 

위의 행렬 $A$를 아래와 같이 4개의 블록으로 나누자.

 

$A_{11}=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\end{array}\right],A_{12}=\left[\begin{array}{c}{a}_{14}\\ a_{24}\end{array}\right],A_{21}=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right],A_{22}=\left[\begin{array}{c}{a}_{34}\end{array}\right]$

 

그러고 나면 $A$는 아래와 같은 블록의 행렬로 표현 가능하다.

 

$A=\left[\begin{array}{cc}{A}_{11}& A_{12}\\ A_{21}& A_{22}\end{array}\right]$

 

이처럼 행렬을 여러 개의 블록의 행렬로 표현한 것을 블록 행렬(Block Matrix)이라 한다. 블록 행렬은 복잡한 행렬 계산을 쉽게 해주는 장점이 있다. 마찬가지로 위의 $A$를 아래와 같이 행 벡터들의 행렬, 열 벡터들의 행렬로도 표현할 수 있다. 

 

$A=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{r}}_{\mathbf{1}}\\ {\mathbf{r}}_{\mathbf{2}}\\ {\mathbf{r}}_{\mathbf{3}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{\mathbf{c}}_{\mathbf{1}}& {\mathbf{c}}_{\mathbf{2}}& {\mathbf{c}}_{\mathbf{3}}& {\mathbf{c}}_{\mathbf{4}}\end{array}\right]$

 

따라서 행렬 곱 $AB$를 아래과 같이 column by column 또는 row by row로 계산할 수 있게 된다.

 

$AB=A\left[\begin{array}{cccc}{\mathbf{b}}_{\mathbf{1}}& {\mathbf{b}}_{\mathbf{2}}& \cdots & {\mathbf{b}}_{\mathbf{n}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}A{\mathbf{b}}_{\mathbf{1}}& A{\mathbf{b}}_{\mathbf{2}}& \cdots & A{\mathbf{b}}_{\mathbf{n}}\end{array}\right]$

($AB$ computed column by column)

 

$AB=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{a}}_{\mathbf{1}}\\ {\mathbf{a}}_{\mathbf{2}}\\ ⋮\\ {\mathbf{a}}_{\mathbf{m}}\end{array}\right]B=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{a}}_{\mathbf{1}}B\\ {\mathbf{a}}_{\mathbf{2}}B\\ ⋮\\ {\mathbf{a}}_{\mathbf{m}}B\end{array}\right]$

($AB$ computed row by row)

 

위와 같은 방식을 통해 전체 행렬 곱의 계산 없이도 특정 행 또는 열을 계산하여 구할 수 있다. 즉,

 

$AB$의 $j$번째 column vector = $A$[$B$의 $j$번째 column vector]

$AB$의 $i$번째 row vector = [$A$의 $i$번째 row vector]$B$

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▶  $A_1,A_2,\cdots ,A_r$가 같은 크기의 행렬이고 $c_1,c_2,\cdots ,c_r$이 scalar일 때 아래와 같은 형태를 선형 결합(linear combination)이라고 한다.

 

$c_1{A}_1+c_2{A}_2+\cdots +c_r{A}_r$

 

행렬 곱을 선형 결합의 관점으로도 볼 수 있는데, 아래와 같이 $A$와 $\mathbf{x}$가 있다고 생각해보자.

 

$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ & & ⋮& \\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]and\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_3\end{array}\right]$

 

그럼 $A\mathbf{x}$는 아래와 같이 나타낼 수 있다.

 

즉, $A$가 $m\times n$ 행렬이고 $\mathbf{x}$가 $n\times 1$ 열 벡터 일때, $A\mathbf{x}$는 $A$의 열 벡터와 $\mathbf{x}$의 계수의 선형 결합으로 표현할 수 있다.

 

▶  $A$가 $m\times r$ 행렬이고 $B$가 $r\times n$ 행렬 일 때, $A$를 $r$개의 열 벡터를 가진 블록 행렬, $B$를 $r$개의 행 벡터를 가진 블록 행렬로 본다면, $AB$를 아래와 같이 표현 가능하고 이를 $AB$의 column-row expansion이라 한다.

 

$AB={\mathbf{c}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{r}}_{\mathbf{1}}+{\mathbf{c}}_{\mathbf{2}}{\mathbf{r}}_{\mathbf{2}}+\cdots {\mathbf{c}}_{\mathbf{r}}{\mathbf{r}}_{\mathbf{r}}$

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▶ $A$가 $m\times n$ 행렬 일 때 $A$의 전치(Transpose)행렬을 $A^T$로 표기한다. 전치행렬 $A^T$는 $A$의 행과 열이 서로 바뀌는 것을 의미한다. 즉, $A^T$의 n번째 열은 $A$의 n번째 행이다. 아래의 예시를 보면 쉽게 이해할 수 있다.

 

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 4& 2\\ 3& 5& 4\end{array}\right],A^T=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 4& 5\\ 2& 4\end{array}\right]$

 

▶ 정방행렬(Square Matrix)의 주 대각성분의 합을 Trace of A이라고 하고 $tr(A)$로 표기한다. 만약 $A$가 Square가 아니면 $tr(A)$는 정의되지 않는다.

 

References

1. Elementary linear algebra 12th editon, Howard Anton, Anton Kaul