Inverse of Matrix(2)

앞서 $A$의 inverse를 $A^{-1}$과 같이 사용하기로 했다. Matrix inverse의 몇 가지 중요한 특성에 대해서 알아보자.

 

● A와 B가 가역 행렬이고 크기가 같다면, $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$이다.

 

증명은 간단한데, $AB$의 inverse는 $(AB)^{-1}$이므로, $(AB)(B^{-1}A^{-1}) = (B^{-1}A^{-1})(AB) = I$임을 보이면 된다.

 

$(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AIA^{-1} = AA^{-1} = I$

 

마찬가지로

$(B^{-1}A^{-1})(AB) = I$

 

이므로 $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$이다. 일반화하자면, $n$개의 가역 행렬의 곱은 가역이고, 행렬곱의 역은 역행렬의 곱의 역순이다.

 

또한 $A$가 Square일 때,

 

$A^{0} = I,  A^{n} = AA \cdots A$ [n factors]

 

으로 정의하며,

 

$A$가 가역일 경우, 

 

$A^{-n} = (A^{-1})^n = A^{-1}A^{-1} \cdots A^{-1}$ [n factors]

 

으로 정의한다. 

 

마지막으로 r과 s가가 양수 스칼라일 때, 

 

$A^rA^s = A^{r+s} \; and \; (A^r)^s = A^{rs}$

 

이 된다.

 

위의 내용을 바탕으로 아래 $(a)-(c)$를 정리할 수 있다.

 

$(a) \; A^{-1}$이 가역이면 $(A^{-1})^{-1} = A$이다.

$(b) \; A^{n}$이 가역이면 $(A^n)^{-1} = A^{-n} = (A^{-1})^{n}$이다.

$(c) \; k$가 0이아닌 임의의 스칼라일 때, $(kA)^{-1} = k^{-1}A^{-1}$이다.

 

자세한 증명은 생략하겠다.

 

References

1. Elementary linear algebra 12th editon, Howard Anton, Anton Kaul